data: 2023-10-12
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Matrici - Sommario
tipologia: appunti
stato: "1"A. LE PRIME DEFINIZIONI SULLE MATRICI
Tutto sul capitolo delle matrici
data: 2023-10-12
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Matrice
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di matrice, matrice quadrata, l'insieme delle matrici, matrice nulla. L'insieme delle matrici come
Siano
Diciamo che il coefficiente
La seguente è una matrice
Sia
Per ogni
Dati
Notiamo che con le operazioni di somma interna e di prodotto per uno scalare definite in Operazioni basilari con matriciOperazioni basilari con matrici,
Una matrice si dice quadrata se il numero delle righe (
Inoltre per denotare l'insieme delle matrici quadrate si scrive
Si osserva che nel caso delle matrici quadrate è possibile definire la diagonale principale come la parte di
La seguente è una matrice quadrata
Una matrice
Si definisce l'insieme delle matrici triangolari superiori
Notiamo che questo insieme è un sottoinsieme di
Infatti valgono le seguenti:
Questa osservazione è analoga per
Considerando da quanto detto in Operazioni particolari con matriciOperazioni particolari con matrici (OSS 1.1.), abbiamo notato che non ha sempre senso chiedersi se la trasposta di una matrice è uguale alla matrice stessa, ovvero
Prendo una matrice
Sapendo che alla prima riga
Il procedimento si ripete per
Allora definiamo una matrice
Simmetrica se vale che
Osservo una peculiarità delle matrici antisimmetriche; infatti se voglio costruirne una mi accorgo che tutte le entrate della diagonale principale devono essere nulle, in quanto l'unico numero che rimane uguale quando moltiplicato per
Notiamo che le matrici nulle e quadrate sono le uniche matrici che sono sia antisimmetriche che simmetriche. Infatti,
Considerando da quanto detto e notato per quanto riguarda il prodotto tra matrici (Operazioni particolari con matriciOperazioni particolari con matrici), possiamo definire una matrice che comporta come il numero
Sia
Nei dei numeri reali
Allora, tracciando un parallelismo tra i numeri reali e le il prodotto tra matrici (Operazioni particolari con matriciOperazioni particolari con matrici), chiamiamo la matrice quadrata
Prendendo
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 2.1..
L'analogia tra l'invertibilità rispetto al prodotto definito in
Considero la seguente matrice
Infatti, per assurdo suppongo che esista
Sia
Definiamo dunque il minore ij-esimo della matrice A
Sia
TRUCCO. Un "trucco" grafico che può essere utile di determinare il minore è quello di prendere la matrice originale, sbarrare la riga
data: 2023-10-12
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Operazioni basilari con matrici
tipologia: appunti
stato: "1"Definizioni di operazioni con matrici; somma interna
DEF 1. Siano
ESEMPIO 1.1.
DEF 2. Sia
data: 2023-10-12
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Sistemi di generatori (cenni)
tipologia: appunti
stato: "1"Cenno al concetto dei sistemi di generatori e combinazione lineare; Matrice come combinazione lineare di sistemi di generatori, indipendenza lineare
Questo capitolo è un semplice cenno ai concetti di combinazione lineare, sistemi di generatori e indipendenza lineare applicato alle matrici; in seguito questi temi verranno approfonditi con Spazi VettorialiSpazi Vettoriali.
DEF 0. Per combinazione lineare si intende l'espressione per cui prendo una serie di vettori
Consideriamo una matrice
Consideriamo allora la seguente combinazione lineare di queste quattro matrici:
OSS 1.1. Notiamo che questo ragionamento può essere formulato allo stesso modo per qualsiasi insieme di matrici
PROP 1.1. Se consideriamo l'insieme delle matrici
Considerando ancora le matrici quadrate
DEF 2. In questo caso diciamo che queste quattro matrici sono linearmente indipendenti; ovvero che l'unico modo di ottenere la matrice nulla mediante la combinazione lineare di queste matrici è quella di imporre tutti i coefficienti nulli.
Questi ragionamenti possono essere formulati (e generalizzati) anche per matrici
OSS 2.1. Se ho
data: 2023-10-12
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Operazioni particolari con matrici
tipologia: appunti
stato: "1"Trasposta di una matrice (definizione di matrice simmetrica e antisimmetrica). Definizione di prodotto tra due matrici. Esempi scelti del prodotto righe per colonne. Proprietà del prodotto tra matrici.
traspórre (ant. transpórre) v. tr. [dal lat. transponĕre, comp. di trans- «trans-» e ponĕre «porre»] (coniug. come porre). – 1. Porre, collocare una cosa dopo un’altra, invertendo l’ordine in cui tali cose erano inizialmente: il copista per errore ha trasposto i versi 24-25 dopo i versi 26-30; col senso più generico di porre in diverso ordine: il periodo potrebbe migliorarsi notevolmente trasponendo qualche parola; se necessario si potrà t. qualche numero del programma; t. i fili di una linea telefonica.
DEF 1. Sia
Quindi
ESEMPIO 1.1.
Se prendiamo
PROP 1.1. Prendendo
Innanzitutto osserviamo che ha senso chiedersi se queste proprietà sono valide, in quanto per definizione in Operazioni basilari con matriciOperazioni basilari con matrici, sommando due matrici
Per dimostrare la (i), dimostriamo che tutte le entrate della matrice nel membro sinistro dell'uguaglianza e nel membro destro sono, infatti, effettivamente uguali.
Per farlo fissiamo le
Per la dimostrazione di (ii) basta fissare
Ora andiamo a introdurre una nuova operazione tra matrici e per farlo è opportuno considerare una specie di analogia, una situazione che ci aiuti a comprendere il concetto.
Immaginiamo di trovarci in un negozio A che presenta i seguenti prezzi (tralasciando questioni economico-finanziarie):
DEF 2.2.1. Siano
DEF 2.2.2. In generale, se
OSS 2.2.1. Notiamo che il prodotto tra due matrici
Inoltre, la "matrice risultante" diventa una matrice
Diamo alcuni esempi-esercizi.
ESEMPIO 2.3.1.
OSS 2.3.2.a.
Notiamo di aver ottenuto la stessa matrice a destra.
ESEMPIO 2.3.3.
OSS 2.3.3.a.
Come appena notato prima, la seconda matrice sembra di comportarsi come il numero
Infatti questa matrice verrà definita come la matrice identitàmatrice identità (DEF 2.5.)
ESEMPIO 2.3.4.
Consideriamo
OSS 2.3.4.a.
Notiamo che il prodotto delle matrici non è un'operazione commutativa; questo determina delle forti conseguenze, in particolare nella meccanica quantistica con il principio di indeterminazione di Heisenberg.
Il prodotto righe per colonne soddisfa alcune proprietà:
PROP 2.4.1. Siano
PROP 2.4.2. Sia
DIMOSTRAZIONE. Per mostrare la forma corretta, ovvero
OSS 2.4.3.a Nel caso delle matrici quadrate
PROP 2.4.4. Sia
La dimostrazione è lasciata da svolgere al lettore.
data: 2023-12-02
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Definizione di Matrice Simile
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di due matrici simili.
Siano
data: 2023-12-02
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Definizione di Matrice Diagonale e Applicazione Diagonalizzabile
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di una matrice quadrata diagonale e di un'applicazione lineare diagonalizzabile.
Sia
Sia
Dire che la matrice associata
Infatti se
data: 2023-10-25
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Algoritmo di Gauß
tipologia: appunti
stato: "1"
"":Definizioni preliminari per la descrizione dell'algoritmo di Gauß (Matrice completa e le operazioni elementari OE). Descrizione dell'algoritmo di Gauß per rendere un sistema lineare in un sistema lineare equivalente a scala come un programma.
Consideriamo un sistema linearesistema lineare di forma
Ora definiamo una serie di operazioni elementari (OE) che sono in grado di trasformare un sistema lineare di forma
OE1. L'operazione scambia equazioni
Dati due indici
Questo corrisponde a scambiare la riga
OE2. L'operazione scala equazioni
Dato l'indice
OE3. L'operazione somma equazioni
Dati due indici
Ovvero questo corrisponde a sommare alla riga
Osserviamo che queste operazioni determinano dei sistemi lineari equivalenti in quanto queste operazioni sono completamente invertibili; infatti partendo da un sistema lineare "trasformato" mediante le OE., possiamo tornare al sistema originario.
Se applico ad un sistema lineare qualsiasi una di queste operazione elementari, allora ottengo un sistema equivalente.
Dato un qualsiasi sistema lineare arbitrario, posso portarlo ad un sistema a scala con queste operazioni elementari OE. Infatti mostreremo un algoritmo (Nozioni Fondamentali di ProgrammazioneNozioni Fondamentali di Programmazione) che è in grado di "gradinizzare" (ovvero portare a scala) una matrice completa
Riprendendo la proposizione 2.2. della sezione precedente, abbiamo appena enunciato che siamo in grado di portare un sistema lineare non a scala in un sistema lineare a scala; dimostreremo questa proposizione descrivendo uno degli algoritmi più noti dell'Algebra Lineare, ovvero l'algoritmo di Gauß.
NOTIZIE STORICHE. (Trascrizione appunti + approfondimenti personali)
Questo algoritmo è stato attribuito al noto matematico C. F. Gauß (1777-1855) in quanto fu proprio lui a formalizzare questo procedimento in latino; tuttavia ciò non significa che il matematico Gauß inventò questo algoritmo, in quanto ci sono evidenze storiche che prima esistevano già descrizioni su questo procedimento. Infatti, esiste un antico manoscritto cinese (I Capitoli nove arte matematica/九章算術, circa 179) che descrive un principio simile a quello che andremo a descrivere.
Per ulteriori approfondimenti consultare le seguenti pagine:
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Matrices_and_determinants/
https://it.frwiki.wiki/wiki/Les_Neuf_Chapitres_sur_l%27art_math%C3%A9matique
OBIETTIVO.
Come detto prima, il nostro obiettivo è quello di "gradinizzare" un sistema lineare qualsiasi che non sia a scala.
INPUT.
Quindi il nostro input è un sistema lineare qualsiasi del tipo
OUTPUT.
Vogliamo ottenere la matrice completa
Il nostro procedimento si articola in una serie di "istruzioni" da eseguire per un certo numero di volte.
Queste operazioni corrispondono a:
Affinché questo algoritmo sia valido e ben posto, devo assicurarmi che:
Come un programmatore fa dei "unit tests" su un programma o algoritmo, tentiamo di applicare questo principio appena descritto ad un sistema lineare.
Consideriamo il sistema lineare dato da
ESERCIZIO PERSONALE. Questo esercizio prevede un collegamento con l'informatica, in particolare con la programmazione.
A) Scrivere uno pseudocodice che "emula" questo principio
B) Implementare tale pseudocodice in C/Python
C) Calcolare la "complessità" di questo codice
data: 2023-11-17
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Rango
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di rango, osservazioni, esempi.
Sia
Sia
Se
Noteremo che questa definizione non cambierebbe, se invece di considerare le colonne considerassimo le righe.
Consideriamo la matrice
Invece se due colonne fossero invece linearmente dipendenti, quindi proporzionali tra di loro (in quanto una di queste sono ottenibili mediante lo scalamento dell'altro), allora avremmo
Sia
Per dei teoremi vedere questa pagina: Teoremi su RangoTeoremi su Rango
data: 2023-11-14
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Teoremi sulle Basi
tipologia: appunti
stato: "1"Tutti i teoremi sulle basi: teorema di estrazione di una base, teorema del completamento/estensione, lemma di Steinitz, teorema sul numero di elementi delle basi. Cenni/idee alle dimostrazioni di questi teoremi
Questo primo teorema, come ci suggerisce il titolo, serve per "estrarre" una base da uno spazio vettoriale (Spazi VettorialiSpazi Vettoriali), ovvero di determinarla.
Sia
Allora esiste
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di estrazione (^938ed7Teorema 1.1. (Teorema di estrazione di una base))
Nota: questa non è una vera e propria dimostrazione, bensì un semplice cenno. Ci si focalizza in particolare su un algoritmo per scopi informatici.
In questa dimostrazione procediamo per costruzione, ovvero troviamo la base
Inoltre supponiamo
ALGORITMO (dello scarto)
for v in V)
PSEUDOCODICE (quasi-Python)
def TrovaBase(vettore_nullo, sistema_di_generatori):
B = []
for v in sistema_di_generatori:
if v == vettore_nullo or v in span(B):
continue
else:
B.append(v)
# Alternativamente si può solo negare la condizione e scrivere
if v != vettore_nullo and v not in span(B):
B.append(v)
return B
Ora consideriamo un teorema "speculare" a parte, ovvero a partire da un insieme di vettori linearmente indipendenti possiamo avere una base aggiungendo degli elementi (o anche nessuno).
Sia
Allora esiste una base
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di estensione/completamento (^dbffbaTeorema 2.1. (Teorema del completamento/estensione))
Nota: anche qui diamo semplicemente un'idea della dimostrazione.
Dato che
Allora se considero
A quest'ultimo applico l'algoritmo dello scarto, ottenendo una base
Da questi due teoremi osserviamo una relazione tra il concetto di base (Definizione di BaseDefinizione di Base), indipendenza lineare (Dipendenza e Indipendenza LineareDipendenza e Indipendenza Lineare) e sistema di generatori (Combinazione LineareCombinazione Lineare).
Da un lato abbiamo una base come un sistema di generatori "minimale", ovvero che contiene un numero minimo di vettori; oppure possiamo equivalentemente caratterizzare una base come un insieme di vettori linearmente dipendenti "massimale", ovvero che può essere estesa.
Ora enunciamo un teorema importante che ci permetterà di definire la dimensione (Dimensione > ^3a9321Definizione 1 (dimensione di un spazio vettoriale)) di un spazio vettoriale.
Sia
Allora
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del lemma di Steinitz (^f23180Lemma 2 (di Steinitz.))
Per ipotesi vale che gli elementi
Ora consideriamo le coordinate di ogni vettore
Adesso consideriamo la combinazione lineare delle coordinate di
Ora consideriamo il sistema lineare omogeneo del tipo
di cui possiamo dimostrare che è compatibile con una una soluzione non (tutta) nulla.
Osserviamo che la matrice dei coefficienti
Sia
Allora
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 3.1. (^c61910Teorema 4 (sulla cardinalità delle basi))
Per il lemma di Steinitz (^f23180Lemma 2 (di Steinitz.)), abbiamo che questi due insiemi di vettori per essere basi (ovvero linearmente indipendenti e sistemi di generatori), deve valere
data: 2023-11-21
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Invertire Matrici
tipologia: appunti
stato: "1"Metodi per invertire matrici.
Nella proposizione 3.1. sul rango (Teoremi su Rango > ^4dbbddProposizione 4 (Invertibilità di una matrice)) abbiamo semplicemente dimostrato l'esistenza di
Quindi "procediamo" con la dimostrazione costruttiva di proposizione 3.1. (Teoremi su Rango > ^4dbbddProposizione 4 (Invertibilità di una matrice)).
Abbiamo appena visto che per calcolare
Notiamo che
Quindi abbiamo una matrice del tipo
Ovvero
Ripetendo a ritroso da
Quindi applicando queste operazioni a
Ora, la matrice di partenza codificava i sistemi
L'ultima matrice codifica i sistemi lineari del tipo
Allora vediamo di calcolare l'inversa di una matrice; sia dunque
Allora con l'algoritmo appena descritto consideriamo la matrice completa
OSS 2.1. Dall'esempio 1.1. (^a51ef6Esempio 1 (Esempio 1.1. Calcolo dell'inversa di una matrice)) noto che la matrice inversa di
Quindi voglio codificare con un singolo numero l'invertibilità di una matrice quadrata, che definiremo come il determinante (DeterminanteDeterminante).
Consideriamo ad esempio il caso per le matrici quadrate
Siano quindi
Per vedere il metodo dei cofattori, andare alla pagina Cofattore di una matriceCofattore di una matrice.
Sia
In particolare set
data: 2023-11-21
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Determinante
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di determinante per matrici quadre 2x2 (cenno); cenno al metodo dei cofattori; definizione per ricorrenza del determinante di una matrice quadra di qualsiasi dimensione; calcolo del determinante di matrici triangolari superiori; regola di Sarrus (definizione di matrici quadre 3x3)
Sia
Definisco il determinante di
TRUCCO. Per ricordare questa definizione possiamo fare una sorta di "grafico" per aiutarci, in cui disegniamo la matrice e segniamo la diagonale principale in rosso e l'"anti diagonale" in blu: poi sottraiamo la parte rossa con quella blu.
Quanto abbiamo visto in Invertire Matrici > ^b56a11Invertire Matrici > ^b56a11, questo ci permette di esporre il seguente enunciato:
#Proposizione
Sia
#Esempio
Riprendiamo l'esempio 1.1. da Invertire Matrici > ^a51ef6Esempio 1 (Esempio 1.1. Calcolo dell'inversa di una matrice):
Sia
OSS 1.1.1. (Collegamento geometrico) Se consideriamo le colonne di
OSS 2.1. Benché questa definizione di determinante sia completamente accettabile, percepiamo che rimane comunque "artificiale": scegliamo proprio di svilupparla lungo la prima colonna.
Infatti con lo sviluppo di Laplace del determinante (Teoremi sul determinanteTeoremi sul determinante) vedremo che è possibile definire il determinante con lo stesso algoritmo, scegliendo tuttavia di svilupparla lungo un'altra colonna o anche secondo una riga.
Tuttavia dobbiamo aspettare prima di sviluppare dei teoremi sui determinanti per poter definire bene lo sviluppo di Laplace.
Con questa definizione si può "ricavare" la definizione del determinante per una matrice che vive in
Sia
Se
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE di Proposizione 2.1.1. (^0628b1Proposizione 7 (Determinante di una matrice triangolare superiore))
Per induzione su
Sia
allora vale che
TRUCCO. Ovviamente questa regola è utile solo se la visualizziamo graficamente; ciò consiste in prendere la matrice
data: 2023-11-21
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Teoremi sul determinante
tipologia: appunti
stato: "1"Teoremi sul determinante: prime proprietà (multilinearità, alternanza/antisimmetria, normalizzazione); teorema di caratterizzazione del determinante; corollari vari; teorema di caratterizzazione delle matrici quadrate di rango massimo; sviluppo di Laplace del determinante; teorema di Binet.
Il determinante (Determinante > ^be5bdeDefinizione 4 (determinante per lo sviluppo lungo la prima colonna)) gode delle seguenti proprietà:
Possiamo usare queste proprietà come dei "trucchetti" per calcolare certi determinanti.
#Esempio
Sia
Considerando il determinante come funzione,
La dimostrazione è stata omessa.
Sia
Per avere il determinante
i. Se la matrice ha due righe uguali
Infatti
Sia
i. Se
DIMOSTRAZIONE del punto iii. del corollario 3.2. (^d73ef4Corollario 5 (effetti sul determinante degli OE))
Se consideriamo
Sia
In particolare
data: 2023-11-21
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Cofattore di una matrice
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di cofattore ij-esimo di una matrice; definizione della matrice dei cofattori di A; calcolo dell'inversa mediante il cofattore
Sia
Definisco il cofattore ij-esimo di
Sia